Одна из тем, которая требует от учеников максимума внимания и усидчивости, это решение неравенств. Такие похожие на уравнения и при этом сильно от них отличающиеся. Потому что к их решению нужен особый подход.
Свойства, которые потребуются для нахождения ответа
Все они применяются для того, чтобы заменить имеющуюся запись равносильной. Большая их часть похожа на то, что было в уравнениях. Но есть и отличия.
- Функцию, которая определена в ОДЗ, или любое число можно прибавить к обеим частям исходного неравенства.
- Аналогичным образом возможно умножение, но только на положительную функцию или число.
- Если это действие выполняется с отрицательными функцией или числом, то знак неравенства нужно заменить на противоположный.
- Функции, которые являются неотрицательными, можно возводить в положительную степень.
Иногда решение неравенств сопровождается действиями, которые дают посторонние ответы. Их нужно исключить, сравнив область ОДЗ и множество решений.
Использование метода интервалов
Его суть состоит в том, чтобы свести неравенство к уравнению, в котором в правой части стоит ноль.
- Определить область, где лежат допустимые значения переменных, то есть ОДЗ.
- Преобразовать неравенство с помощью математических операций так, чтобы в его правой части стоял ноль.
- Знак неравенства заменить на «=» и решить соответствующее уравнение.
- На числовой оси отметить все ответы, которые получились во время решения, а также интервалы ОДЗ. При строгом неравенстве точки нужно нарисовать выколотыми. Если присутствует знак равенства, то их полагается закрасить.
- Определить знак исходной функции на каждом интервале, получившемся из точек ОДЗ и делящих его ответов. Если при переходе через точку знак функции не изменяется, то она входит в ответ. В противном случае — исключается.
- Граничные для ОДЗ точки нужно дополнительно проверить и только потом включать или нет в ответ.
- Ответ, который получается, нужно записать в виде объединенных множеств.
Немного о двойных неравенствах
Они используют в записи сразу два знака неравенства. То есть некоторая функция ограничена условиями сразу дважды. Такие неравенства решаются, как система из двух, когда исходное разбито на части. И в методе интервалов указываются ответы от решения обоих уравнений.
Для их решения также допустимо использовать свойства, указанные выше. С их помощью удобно приводить неравенство к равенству нулю.
Как обстоят дела с неравенствами, в которых имеется модуль?
В этом случае решение неравенств использует следующие свойства, причем они справедливы для положительного значения «а».
Если «х» принимает алгебраическое выражение, то справедливы такие замены:
- |х| < a на -a < х < a;
- |х| > a на х < -a или х > a.
Если неравенства нестрогие, то формулы тоже верны, только в них, кроме знака больше или меньше, появляется «=».
Как осуществляется решение системы неравенств?
Это знание потребуется в тех случаях, когда дано такое задание или имеется запись двойного неравенства или в записи появился модуль. В такой ситуации решением будут такие значения переменных, которые удовлетворяли бы всем имеющимся в записи неравенствам. Если таких чисел нет, то система решений не имеет.
План, по которому выполняется решение системы неравенств:
- решить каждое из них отдельно;
- изобразить на числовой оси все интервалы и определить их пересечения;
- записать ответ системы, который и будет объединением того, что получилось во втором пункте.
Как быть с дробными неравенствами?
Поскольку во время их решения может потребоваться изменение знака неравенства, то нужно очень тщательно и внимательно выполнять все пункты плана. Иначе может получиться противоположный ответ.
Решение дробных неравенств тоже использует метод интервалов. И план действий будет таким:
- Используя описанные свойства, придать дроби такой вид, чтобы справа от знака остался только ноль.
- Заменить неравенство на «=» и определить точки, в которых функция будет равна нулю.
- Отметить их на координатной оси. При этом числа, получившиеся в результате расчетов в знаменателе, всегда будут выколоты. Все другие — исходя из условия неравенства.
- Определить интервалы знакопостоянства.
- В ответ записать объединение тех промежутков, знак которых соответствует тому, который был в исходном неравенстве.
Ситуации, когда в неравенстве появляется иррациональность
Другими словами, в записи присутствует математический корень. Поскольку в школьном курсе алгебры большая часть заданий идет для квадратного корня, то именно он и будет рассмотрен.
Решение иррациональных неравенств сводится к тому, чтобы получить систему из двух или трех, которые будут равносильны исходному.
Исходное неравенство | условие | равносильная система |
√ n(х) < m(х) | m(х) меньше или равно 0 | решений нет |
m(х) больше 0 | n(х) больше или равно 0 n(х) < (m(х)) 2 |
|
√ n(х) > m(х) | m(х) больше или равно 0 n(х) > (m(х)) 2 |
|
n(х) больше или равно 0 m(х) меньше 0 |
||
√n(х) ≤ m(х) | m(х) меньше 0 | решений нет |
m(х) больше или равно 0 | n(х) больше или равно 0 n(х) ≤ (m(х)) 2 |
|
√n(х) ≥ m(х) | m(х) больше или равно 0 n(х) ≥ (m(х)) 2 |
|
n(х) больше или равно 0 m(х) меньше 0 |
||
√ n(х) < √ m(х) | n(х) больше или равно 0 n(х) меньше m(х) |
|
√n(х) * m(х) < 0 | n(х) больше 0 m(х) меньше 0 |
|
√n(х) * m(х) > 0 | n(х) больше 0 m(х) больше 0 |
|
√n(х) * m(х) ≤ 0 | n(х) больше 0 |
|
n(х) равно 0 m(х) -любое |
||
√n(х) * m(х) ≥ 0 | n(х) больше 0 |
|
n(х) равно 0 m(х) -любое |
Примеры решения разных видов неравенств
Для того чтобы добавить наглядности в теорию про решение неравенств, ниже приведены примеры.
Первый пример. 2х - 4 > 1 + х
Решение: для того чтобы определить ОДЗ, достаточно просто внимательно посмотреть на неравенство. Оно образовано из линейных функций, поэтому определено при всех значениях переменной.
Теперь из обеих частей неравенства нужно вычесть (1 + х). Получается: 2х - 4 - (1 + х) > 0. После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые неравенство примет такой вид: х - 5 > 0.
Приравняв его к нулю, легко найти его решение: х = 5.
Теперь эту точку с цифрой 5, нужно отметить на координатном луче. Потом проверить знаки исходной функции. На первом интервале от минус бесконечности до 5 можно взять число 0 и подставить его в неравенство, получившееся после преобразований. После расчетов получается -7 >0. под дугой интервала нужно подписать знак минуса.
На следующем интервале от 5 до бесконечности можно выбрать число 6. Тогда получается, что 1 > 0. Под дугой подписан знак «+». Этот второй интервал и будет ответом неравенства.
Ответ: х лежит в интервале (5; ∞).
Второй пример. Требуется решить систему двух уравнений: 3х + 3 ≤ 2х + 1 и 3х - 2 ≤ 4х + 2.
Решение. ОДЗ этих неравенств тоже лежит в области любых чисел, поскольку даны линейные функции.
Второе неравенство примет вид такого уравнения: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. После преобразования: -х - 4 =0. Из него получается значение для переменной, равное -4.
Эти два числа нужно отметить на оси, изобразив интервалы. Поскольку неравенство нестрогое, то все точки нужно закрасить. Первый интервал от минус бесконечности до -4. Пусть будет выбрано число -5. Первое неравенство даст значение -3, а второе 1. Значит, этот промежуток не входит в ответ.
Второй интервал от -4 до -2. Можно выбрать число -3 и подставить его в оба неравенства. В первом и во втором получается значение -1. Значит, под дугой «-».
На последнем интервале от -2 до бесконечности самым лучшим числом является ноль. Его и нужно подставить и найти значения неравенств. В первом из них получается положительное число, а втором ноль. Этот промежуток тоже нужно исключить из ответа.
Из трех интервалов решением неравенства является только один.
Ответ: х принадлежит [-4; -2].
Третий пример. |1 - х| > 2 |х - 1|.
Решение. Первым делом нужно определить точки, в которых функции обращаются в ноль. Для левого этим числом будет 2, для правого — 1. их нужно отметить на луче и определить промежутки знакопостоянства.
На первом интервале, от минус бесконечности до 1, функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные. Под дугой нужно записать рядом два знака «+» и «-».
Следующий промежуток от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Значит, под дугой два плюса.
Третий интервал от 2 до бесконечности даст такой результат: левая функция — отрицательная, правая — положительная.
С учетом получившихся знаков нужно вычислить значения неравенства для всех промежутков.
На первом получается такое неравенство: 2 - х > - 2 (х - 1). Минус перед двойкой во втором неравенстве получился из-за того, что эта функция отрицательная.
После преобразования неравенство выглядит так: х > 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только промежуток от 0 до 1.
На втором: 2 - х > 2 (х - 1). Преобразования дадут такое неравенство: -3х + 4 больше ноля. Его нулем будет значение х = 4/3. С учетом знака неравенства получается, что х должен быть меньше этого числа. Значит, этот интервал уменьшается до промежутка от 1 до 4/3.
Последний дает такую запись неравенства: - (2 - х) > 2 (х - 1). Его преобразование приводит к такому: -х > 0. То есть уравнение верно при х меньшем ноля. Это значит, что на искомом промежутке неравенство не дает решений.
На первых двух промежутках граничным оказалось число 1. Его нужно проверить отдельно. То есть подставить в исходное неравенство. Получается: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Подсчет дает что 1 больше 0. Это верное утверждение, поэтому единица входит в ответ.
Ответ: х лежит в промежутке (0; 4/3).
Как решать линейные неравенства? Для начала неравенство надо упростить: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.
Рассмотрим примеры решения линейных неравенств с одной переменной.
Раскрываем скобки . Если перед скобками стоит множитель, умножаем его на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не меняются. Если перед скобками стоит знак «минус», знаки в скобках меняются на противоположные.
Приводим подобные слагаемые.
Получили неравенство вида ax+b≤cx+d. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками (можно было сначала перенести неизвестные в одну сторону, известные в другую, а уже потом привести подобные слагаемые).
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 8 больше нуля, знак неравенства не меняется:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как , точку -2 отмечаем на числовой прямой закрашенной. от -2, на минус бесконечность.
Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -2 записываем с квадратной скобкой.
Чтобы от десятичных дробей перейти к целым числам, можно обе части неравенства умножить на 10 (это не обязательно. Можно работать с десятичными дробями).
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
При умножении обеих частей на положительное число знак неравенства не меняется. Умножать на 10 надо каждое слагаемое. При умножении произведения на 10 используем сочетательное свойство умножения , то есть умножаем на 10 только один множитель.
Раскрываем скобки:
Приводим подобные слагаемые:
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку -6 — отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Сокращаем дробь:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как неравенство строгое, на числовой прямой -2/3 отмечаем выколотой точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:
Неравенство строгое, точка выколотая, поэтому в ответ -2/3 записываем с круглой скобкой:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Раскрываем скобки. Если перед произведением двух скобок стоит знак «минус», удобно сначала выполнить умножение, и только потом раскрывать скобки, изменяя знак каждого слагаемого на противоположный:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Приводим подобные слагаемые:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:
Поскольку неравенство строгое, 1,6 отмечаем на числовой прямой выколотой точкой. Штриховка от 1,6 идёт влево, на минус бесконечность:
Так как неравенство строгое и точка выколотая, 1,6 в ответ записываем с круглой скобкой.
В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!
Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.
Общи сведения о неравенствах
Неравенством
называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x)
a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x)
Неравенства, содержащие знак > или
или - нестрогими.
Решением неравенства
является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство
" означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств
. Для решения неравенства
пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства
x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x }